Question

已知函數(shù)f(x)＝alnx―ax―3(a∈R且a≠0)．

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(2，f(2))處的切線的斜率為1，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間(t，3)上總存在極值？

(Ⅲ)當a＝2時，設函數(shù)，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h(x₀)＞f(x₀)成立，試求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由知：

　　當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；

　　當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是　　4分

　　(Ⅱ)由得

　　∴，　　5分

　　

　　∴，

　　∵函數(shù)在區(qū)間上總存在極值，

　　∴有兩個不等實根且至少有一個在區(qū)間內(nèi)　　6分

　　又∵函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且，∴　　7分

　　由，∵在上單調(diào)遞減，

　　所以；∴，由，解得；

　　綜上得：所以當在內(nèi)取值時，對于任意，函數(shù)，在區(qū)間上總存在極值　　8分

　　(Ⅲ)令，則

　　．

　　1．當時，由得，從而，

　　所以，在上不存在使得　　10分

　　2．當時，，

　　在上恒成立，故在上單調(diào)遞增．

　　故只要，解得

　　綜上所述，的取值范圍是　　12分