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        1. 【題目】設(shè) ,g(x)=x3﹣x2﹣3.
          (1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
          (2)如果存在x1 , x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M;
          (3)如果對任意的 ,都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:當(dāng)a=2時, , ,f(1)=2,f'(1)=﹣1,所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=﹣x+3
          (2)解:存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立

          等價于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M,

          考察g(x)=x3﹣x2﹣3, ,

          由上表可知:

          ,

          所以滿足條件的最大整數(shù)M=4


          (3)解:當(dāng) 時, 恒成立

          等價于a≥x﹣x2lnx恒成立,

          記h(x)=x﹣x2lnx,h'(x)=1﹣2xlnx﹣x,h'(1)=0.

          記m(x)=1﹣2xlnx﹣x,m'(x)=﹣3﹣2lnx,

          由于 ,m'(x)=﹣3﹣2lnx<0,

          所以m(x)=h'(x)=1﹣2xlnx﹣x在 上遞減,

          當(dāng) 時,h'(x)>0,x∈(1,2]時,h'(x)<0,

          即函數(shù)h(x)=x﹣x2lnx在區(qū)間 上遞增,在區(qū)間(1,2]上遞減,

          所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1


          【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f(x)在x=1處的導(dǎo)數(shù),從而求出切線的斜率,最后用直線的斜截式表示即可;(2)存在x1 , x2∈[0,2],使得g(x1)﹣g(x2)≥M成立等價于:[g(x1)﹣g(x2)]max≥M,先求導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的極值點,通過比較與端點的大小從而確定出最大值和最小值,從而求出[g(x1)﹣g(x2)]max , 求出M的范圍;(3)當(dāng) 時, 恒成立等價于a≥x﹣x2lnx恒成立,令h(x)=x﹣x2lnx,利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的最大值即可求出參數(shù)a的范圍.
          【考點精析】掌握函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

          練習(xí)冊系列答案
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          A.
          B.
          C.
          D.

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