Question

（2010•江蘇二模）在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），D（2，0）為AC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）已知直線(xiàn)l：x+y-4=0，求邊BC在直線(xiàn)l上的投影EF長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出C，進(jìn)而可表示出D和A，進(jìn)而利用B的坐標(biāo)和AB=AC利用兩點(diǎn)間的距離公式求得x和y的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)判斷出y≠0，則C點(diǎn)的軌跡方程可得．
（2）根據(jù)題意可求得BE的方程，設(shè)出直線(xiàn)CF的方程，當(dāng)EF取得最大值時(shí)，直線(xiàn)CF與圓（x-1）²+y²=4相切．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求得b，則直線(xiàn)CF的方程可得．進(jìn)而根據(jù)EF長(zhǎng)的最大值是點(diǎn)B到CF的距離，答案可得．

解答：解：（1）設(shè)C（x，y），
∵D（2，0）為AC的中點(diǎn)，
∴A（4-x，-y）．
∵B（-1，0），由AB=AC，得AB²=AC²．
∴（x-5）²+y²=（2x-4）²+（2y）²．
整理，得（x-1）²+y²=4．
∵A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，∴y≠0．
則點(diǎn)C的軌跡方程為（x-1）²+y²=4（y≠0）．
（2）由條件，易得
BE：x-y+1=0．
設(shè)CF：x-y+b=0，
當(dāng)EF取得最大值時(shí)，
直線(xiàn)CF與圓（x-1）²+y²=4相切．
設(shè)M（1，0），由

|1-0+b|

2

=2，得b=2

2

-1（舍去），或b=-2

2

-1．
∴CF：x-y-2

2

-1=0．
∴EF_max等于點(diǎn)B到CF的距離
=

|-1-0-2 2 -1|

2

=

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生運(yùn)用解析幾何的知識(shí)解決問(wèn)題的能力．