Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，SA=AB=1，AD=2，點(diǎn)M在線段BC上移動(dòng)．
（1）若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)時(shí)，求直線SA與平面SDM所成角的正弦值；
（2）當(dāng)BM等于何值時(shí)，二面角D-SM-B的大小為135°．

Answer 1

分析：（1）以AD，AB，AS為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面SDM的法向量，利用向量的夾角公式，可求直線SA與平面SDM所成角的正弦值；
（2）設(shè)出M的坐標(biāo)，求出平面SDM的法向量、平面SMB的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：以AD，AB，AS為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（0，1，0），S（0，0，1），D（2，0，0）．
（1）依題意有M（1，1，0），∴

DM

=（-1，1，0），

DS

=（-2，0，1），
設(shè)平面SDM的法向量為

n

=（x，y，z），則有

-x+y=0 -2x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，2）．
設(shè)直線SA與平面SDM所成角為θ，則sinθ=|cosθ|=

| AS • n |

AS • n

=

6

3

，
故直線SA與平面SDM所成角的正弦值為

6

3

．…6分
（2）設(shè)M（a，1，0）（0≤a≤2），則

DM

=（a-2，1，0），

DS

=（-2，0，1），
設(shè)平面SDM的法向量為

n1

=（x′，y′，z′），則有

(a-2)x′+y′=0 -2x′+z′=0

，
取x′=1，得

n1

=（1，2-a，2）．
設(shè)平面SMB的法向量為

m

=（x″，y″，z″），
由

BM

=（a，0，0），

BS

=（0，-1，1），則有

ax″=0 -y″+z″=0

，取y″=1，得

m

=（0，1，1）．
從而有|cos＜

n1

，

m

＞|=|cos135°|，即有

|4-a|

2 • 5+(2-a)2

=

2

2

，
得（4-a）²=5+（2-a）²，解得a=

7

4

，
即當(dāng)BM=

7

4

時(shí)，二面角D-SM-B的大小為135°．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查線面角，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．