對于無窮數(shù)列
和函數(shù)
，若
，則稱是數(shù)列的母函數(shù).
（Ⅰ）定義在
上的函數(shù)
滿足：對任意
，都有
，且
；又數(shù)列
滿足：
.
求證：(1)
是數(shù)列
的母函數(shù)；
(2)求數(shù)列的前項
和
.
（Ⅱ）已知
是數(shù)列
的母函數(shù)，且
.若數(shù)列
的前項和為
，求證：
.
（Ⅰ）(1) 由題知
，
，
是數(shù)列的母函數(shù)
(2) 
（Ⅱ）
，，
從而是以
為首項，
為公比的等比數(shù)列
又
故當(dāng)
時，有
，化簡得結(jié)論
解析試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且
.是數(shù)列的母函數(shù)；
(2) 由(1) 知：是首項和公差均為
的等差數(shù)列，故
.
①
②
①-②得：
.
.
（Ⅱ）由題知：，. 
.
從而是以為首項，為公比的等比數(shù)列..
又
故當(dāng)時，有：
.
考點：信息題及數(shù)列求和
點評：求解本題首先要正確理解所給信息母函數(shù)的實質(zhì)，將其性質(zhì)代入相應(yīng)的函數(shù)式中推理；第一問的數(shù)列求和用到了錯位相減法，這種方法是數(shù)列求和題常用到的方法，其適用于通項公式為關(guān)于n的一次函數(shù)式與指數(shù)式的乘積形式的數(shù)列
永乾教育寒假作業(yè)快樂假期延邊人民出版社系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，數(shù)列
滿足
。
（1）求
；
（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
，
滿足：
．
（1）若
，求數(shù)列的通項公式；
（2）若
，且
．
① 記
，求證：數(shù)列
為等差數(shù)列；
② 若數(shù)列
中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次，求首項
應(yīng)滿足的條件．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知三次函數(shù)
為奇函數(shù)，且在點
的切線方程為
(1)求函數(shù)
的表達式；
(2)已知數(shù)列
的各項都是正數(shù),且對于
,都有
,求數(shù)列的首項
和通項公式；
(3)在(2)的條件下，若數(shù)列
滿足
,求數(shù)列的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，且方程
有一個根為
，
．
（1）證明：數(shù)列
是等差數(shù)列；
（2）設(shè)方程的另一個根為
，數(shù)列
的前項和為
，求
的值；
（3）是否存在不同的正整數(shù)
，使得
，
，
成等比數(shù)列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
（本小題滿分12分）
已知
為等比數(shù)列，
；
為等差數(shù)列
的前n項和，
.
（1） 求和的通項公式；
（2） 設(shè)
，求.
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中，
，滿足
。
為等差數(shù)列;
項和
.
的前
項和為
，
，
，
，
．
的前
中，
，求數(shù)列
的前n項和
.