Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與軸相切，點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡為.

（1）求曲線的方程；

（2）一條直線經(jīng)過點(diǎn)，且交曲線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn).

①求證：不可能是鈍角；

②是否存在這樣的點(diǎn)，使得是正三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)：否則，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見詳解；②存在，.

【解析】

（1）設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)EF中點(diǎn)為M，MF的距離等于M點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，整理化簡即可求得；

（2）①將證明鈍角的問題，轉(zhuǎn)化為是否可以成立的問題，從而進(jìn)行證明；

②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，則C點(diǎn)到AB中點(diǎn)的距離等于，據(jù)此求解.

（1）設(shè)，由在圓上，且點(diǎn)關(guān)于圓心的對(duì)稱點(diǎn)為.

故

所以，則

化簡得，

所以曲線的方程為

（2）①設(shè)直線：，，，，

所以，，，

，

+1

故不可能為鈍角

②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為

由①知

由，故

得

所以

又

由，得

所以存在點(diǎn)滿足題意.