Question

在雙曲線的一支上不同三點(diǎn)A(x₁,y₁)、B(,6)、C(x₂,y₂)與焦點(diǎn)F(0,5)的距離成等差數(shù)列.

(1)求y₁+y₂的值;

(2)證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

分析:對于(1),由于(x₁,y₁)、(x₂,y₂)均在上,因此可以先將x₁和y₁當(dāng)作已知數(shù),分別求出|BF|、|AF|和|CF|,然后運(yùn)用等差中項知識求解;另外,AF、BF、CF是雙曲線的焦半徑,亦可用焦半徑公式求解.對于(2)應(yīng)先寫出垂直平分線方程,由于A、C是動點(diǎn),故垂直平分線方程中必含有字母系數(shù),再討論直線過哪一個與字母無關(guān)的定點(diǎn).

解:(1)依題意可知,點(diǎn)A、B、C同在雙曲線的上支,又上焦點(diǎn)對應(yīng)的上準(zhǔn)線方程為y=,離心率為e,根據(jù)雙曲線第二定義,知

|AF|=e(y₁-),|BF|=e(6-),|CF|=e(y₂-).

由于|AF|、|BF|、|CF|成等差數(shù)列,

故有|AF|+|CF|=2|BF|,

即e(y₁-)+e(y₂-)=2e(6-).

∴y₁+y₂=12.

(2)設(shè)AC的中點(diǎn)為M(x₀,y₀),AC的垂直平分線為l,斜率為k,則有y₀=分 y₁+y₂[]2式=6,l的方程為y=k(x-x₀)+6,                             ①

②-③,得13(y₁²-y₂²)-12(x₁²-x₂²)=0,

即13(y₁-y₂)(y₁+y₂)-12(x₁-x₂)(x₁+x₂)=0.

∴13×12(y₁-y₂)-12×2(x₁-x₂)x₀=0.

∴

∴

∴AC的垂直平分線方程為

若使上式對一切實數(shù)k恒成立,則x=0,y=,即直線l過定點(diǎn)(0,).

綠色通道：

遇到焦點(diǎn)的弦的問題或雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的問題,要注意焦半徑公式的應(yīng)用.

對于直線過定點(diǎn)問題,一般利用相交直線系方程y-y₀=k(x-x₀)的形式來求定點(diǎn).