Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底, 為常數(shù)）.

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（Ⅱ）對于函數(shù)和,若存在常數(shù),對于任意,不等式都成立,則稱直線是函數(shù)的分界線,設(shè),問函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”？若存在,求出常數(shù);若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，得在上單調(diào)遞增，再分和兩種情況討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）把存在恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而只需判斷是否恒成立，設(shè)出新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性和最值，即可求解實(shí)數(shù)的值．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí), ,則在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí), ,令

若,則隨的變化情況如下表：

則在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增

若,則隨的變化情況如下表：

則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

綜上,當(dāng)時(shí), 在R上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減

（Ⅱ）若存在,則恒成立,令,則,則

恒成立即恒成立,由得

現(xiàn)在只需判斷是否恒成立

設(shè),則,令

且當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),

則在處取得最小值,且

則恒成立,即證恒成立

故存在分界線,且, ,