Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在非零常數(shù)，都有成立.

（1）若函數(shù)，求實(shí)數(shù)和的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若， ，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；

（3）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?/span>，證明：函數(shù)為周期函數(shù).

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】試題分析：（1）由得， 對(duì)恒成立，則，從而可得結(jié)果；（2）先根據(jù)， ，求出函數(shù)在， ， 上的解析式，從而可求得在對(duì)應(yīng)區(qū)間上函數(shù)值的范圍，綜合可得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；（3）由函數(shù)的值域?yàn)?/span>得， 的取值集合也為，當(dāng)時(shí)， ，則，即. 由得，則函數(shù)是以為周期的函數(shù)，同理可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)是以為周期的函數(shù).

試題解析：（1）由得， 對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，則，

即.

（2）當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，即，

由得，則，

當(dāng)時(shí)，即，

由得，則，

當(dāng)時(shí)，即，

由得，

綜上得函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

（3）（證法一）由函數(shù)的值域?yàn)?/span>得， 的取值集合也為，

當(dāng)時(shí)， ，則，即.

由得，

則函數(shù)是以為周期的函數(shù).

當(dāng)時(shí)， ，則，即.

即，則函數(shù)是以為周期的函數(shù).

故滿足條件的函數(shù)為周期函數(shù).

（證法二）由函數(shù)的值域?yàn)?/span>得，必存在，使得，

當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，

對(duì)，有，則不可能；

當(dāng)時(shí)，即， ，

由的值域?yàn)?/span>得，必存在，使得，

仿上證法同樣得也不可能，則必有 ，以下同證法一.