Question

【題目】在正方體中，已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，二面角 的余弦值為；④若正方體的棱長(zhǎng)為2，則的最小值為；其中說(shuō)法正確的是____________（寫(xiě)出所有說(shuō)法正確的編號(hào)）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①∵，∴平面，得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；

③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；

④過(guò)作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.

①∵，∴平面，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；
②在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；

③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.

則:，，所以，

設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，

設(shè)面的法向量為， ，即，

，由圖示可知，二面角 是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；

④過(guò)作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，

則，所以，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.

因?yàn)檎�方體的棱長(zhǎng)為2，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，

所以，又所以，

所以，，，故④正確.
故答案為：①②④.