Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= [cos（2x+ ）+4sinxcosx]+1，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）令g（x）=af（x）+b，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的值域為[﹣1.1]，求a+b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= [cos（2x+ ）+4sinxcosx]+1

= [ cos2x﹣ sin2x+2sin2x]+1

= sin2x+ cos2x+1

=sin（2x+ ）+1，

∴T= =π

（2）解：∵x∈[﹣ ， ]，

∴2x+ ∈[﹣ ， ]，可得：sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的值域為[ ，2]，

∵g（x）=af（x）+b，

∴①當(dāng)a＞0時， ，解得 ，

∴a+b=﹣ ，

②當(dāng)a＜0時， ，解得 ，

∴a+b= ．

【解析】1、利用余弦函數(shù)的兩角和差公式和正弦函數(shù)的二倍角公式整理式子可得f（x）=sin（2x+ ）+1，可得T=π。
2、利用整體思想求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣ ， ]上的值域為[ ，2]，再根據(jù)g（x）=af（x）+b的增減性，分情況討論可求得a+b的值。