Question

【題目】如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)于任意x1≠x2 ， 都有xlf（xl）+x2f（x2）≥xlf（x2）+x2f（xl），則稱(chēng)f（x）為“H函數(shù)”，給出下列函數(shù)： ①y=﹣x3+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣ex；
④f（x）= ；
⑤y=
其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)有（ ）
A.3個(gè)
B.2個(gè)
C.l個(gè)
D.0個(gè)

Answer 1

【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意，對(duì)于x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）， 則有f（x1）（x1﹣x2）﹣f（x2）（x1﹣x2）≥0，
即[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）≥0，
分析可得：若函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)；
對(duì)于①、y=﹣x3+x+l，有y′=﹣3x2+l，不是增函數(shù)也不是常數(shù)函數(shù)，則其不是“H函數(shù)”，
對(duì)于②、y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；有y′=3﹣2（sinx+cosx）=3﹣2 sin（x+ ），有y′≥0，
y=3x﹣2（sinx﹣cosx）為增函數(shù)，則其是“H函數(shù)”，
對(duì)于③、y=l﹣ex=﹣ex+1，是減函數(shù)，則其不是“H函數(shù)”，
對(duì)于④、f（x）= ，當(dāng)x＜1時(shí)是常數(shù)函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)是增函數(shù)，則其是“H函數(shù)”，
對(duì)于⑤、y= ，當(dāng)x≠0時(shí)，y= ，當(dāng)x＞1和x＜﹣1時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，故其不是增函數(shù)也不是常數(shù)函數(shù)，則其不是“H函數(shù)”，
綜合可得：有2個(gè)是“H函數(shù)”，
故選：B．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較)．