Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 面， ， ， ， ， 是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取PB中點(diǎn)M，連結(jié)AM，MN，推導(dǎo)出四邊形AMND是平行四邊形，從而ND∥AM，由此能證明ND∥面PAB．
（2）N到面ABCD的距離等于P到面ABCD的距離的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，從而三棱錐N-ACD的高是2，由此能求出三棱錐N-ACD的體積．

試題解析：

證明：(Ⅰ)如圖，取PB中點(diǎn)M，連結(jié)AM，MN.

∵MN是△BCP的中位線,∴MN∥BC，且MN=BC.

依題意得,ADBC,則有ADMN

∴四邊形AMND是平行四邊形,∴ND∥AM

∵ND面PAB，AM面PAB，

∴ND∥面PAB

(Ⅱ)∵N是PC的中點(diǎn)，

∴N到面ABCD的距離等于P到面ABCD的距離的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，

∴三棱錐NACD的高是2.

在等腰△ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC邊上的高為.

BC∥AD,∴C到AD的距離為，

∴S△ADC=.

∴三棱錐NACD的體積是.