Question

（14分）如圖，四棱錐P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，側(cè)面PAB
是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD
（I）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（II）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；
（III）求直線AB與平面PCD的距離．

Answer 1

（I）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥側(cè)面PAB
又∵BC側(cè)面PBC
∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC）
（II）解：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE

又∵△PAB是等邊三角形
∴PE⊥AB
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角

在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB//側(cè)面PCD
取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB
又∵PE⊥AB 
∴AB⊥平面PEF
又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF
∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=為所求

解析