Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1），求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)；

（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩點(diǎn)間斜率計(jì)算公式可得，可得的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，利用與的關(guān)系，判斷的單調(diào)性，易得在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，把函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為至多有一個(gè)零點(diǎn)，令，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，討論的單調(diào)性，得其最多有一個(gè)零點(diǎn)，故可得證；（Ⅲ）若極小值大于極大值，由（Ⅱ）得不成立，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)也不成立，研究時(shí)，在上的極小值為，無(wú)極大值，在上的極大值為，無(wú)極小值，易得，即得證.

試題解析：（Ⅰ）由，得.

所以，.

所以由得.

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，則.

由得，則

①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)在上至多有一個(gè)極值點(diǎn).

②當(dāng)，即時(shí)，及隨的變化情況如下表：

因?yàn)?/span>，

所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)在上至多有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上至多有一個(gè)極值點(diǎn).

（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值. 的取值范圍是.

由（Ⅱ）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)，不可能同時(shí)存在極大值與極小值.

當(dāng)時(shí)，，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，及隨的變化情況如下表：

①下面研究在上的極值情況：

因?yàn)?/span>，，

所以存在實(shí)數(shù)，使得，

且時(shí)，，即，在上遞減；

時(shí)，，，在上遞增；

所以在上的極小值為，無(wú)極大值.

②下面考查在上的極值情況：

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

令，則，令，

因?yàn)?/span>在上遞減，

所以，即.

綜上，因?yàn)?/span>，

所以存在實(shí)數(shù)，，

且時(shí)，，即，在上遞減；

時(shí)，，，在上遞增；

所以在上的極大值為，無(wú)極小值.

又因?yàn)?/span>，且，

所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上的極小值大于極大值.