【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求
的極值;
(2)若對(duì)
恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(1)有極小值為
,無極大值;(2)
【解析】
試題分析:(1)時(shí),
,令
,解得
,∴
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.故
有極小值為
,無極大值;(2)本題轉(zhuǎn)化為
在
恒成立,令
,利用導(dǎo)數(shù)并分類討論,可求得
.
試題解析:
(1)時(shí),
,令
,解得
,∴
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增. 故
有極小值為
,無極大值.
(2)解法一:在
恒成立,
∵,即
在
恒成立,
不妨設(shè),
,則
.
①當(dāng)時(shí),
,故
,∴
在
上單調(diào)遞增,從而
,
∴不成立.
②當(dāng)時(shí),令
,解得:
,
若,即
,
當(dāng)時(shí),
,
在
上為增函數(shù),故
,不合題意;
若,即
,
當(dāng)時(shí),
,
在
上為減函數(shù),故
,符合題意.
綜上所述,若對(duì)
恒成立,則
.
解法二:由題,
.
令,則
①當(dāng)時(shí),在
時(shí),
,從而
,∴
在
上單調(diào)遞增,
∴,不合題意;
②當(dāng)時(shí),令
,可解得
.
(Ⅰ)若,即
,在
時(shí),
,∴
,∴
在
上為減函數(shù),∴
,符合題意;
(Ⅱ)若,即
,當(dāng)
時(shí),
,∴
時(shí)
,
∴在
上單調(diào)遞增,從而
時(shí)
,不合題意.
綜上所述,若對(duì)
恒成立,則
.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)
的圖像關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求
的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)
處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0,1),求實(shí)數(shù)
的值;
(Ⅱ)求證:當(dāng)時(shí),函數(shù)
至多有一個(gè)極值點(diǎn);
(Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)
在定義域上的極小值大于極大值?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】(
).
(1)當(dāng)時(shí),求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,
存在兩個(gè)極值點(diǎn)
,
,試比較
與
的大小;
(3)求證:(
,
).
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