Question

已知函數f（x）定義在R上，對任意實數x有f（x+3）=-f（x）+2

2

，若函數y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，f（-1）=

2

，則f（2014）=

 

．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：根據條件求出函數f（x）是偶函數，以及推斷出函數的周期性，即可得到結論．

解答： 解：∵y=f（x-1）的圖象關于直線x=1對稱，
∴y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱，即函數f（x）是偶函數，
∵f（x+3）=-f（x）+2

2

，
∴f（x+6）=-f（x+3）+2

2

=f（x），即函數的周期是6，
則f（2014）=f（336×6-2）=f（-2），
當x=-2時，f（-2+3）=-f（-2）+2

2

，
即f（1）=-f（-2）+2

2

，
∴f（-2）=2

2

-f（1）=2

2

-

2

=

2

，
故f（2014）=f（-2）=

2

，
故答案為：

2

．

點評：本題主要考查函數值的計算，根據條件判斷函數的奇偶性和周期性是解決本題的關鍵．