Question

【題目】如圖所示，橢圓： （）的離心率為，左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，短軸兩個(gè)端點(diǎn)、，與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，記直線、的斜率分別為、，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）求證直線與軸相交于定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)弦的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或

【解析】試題分析：（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c值，由離心率可得a值，據(jù)a，b，c關(guān)系可求得b；（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+b，M、N坐標(biāo)分別為 M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理及斜率公式可用k，b表示出等式，由此可求得b值，進(jìn)而可求得直線所過(guò)定點(diǎn)；（3）由（2）中的一元二次方程可求得判別式大于0求得k的范圍，設(shè)弦AB的中點(diǎn)P坐標(biāo)則可分別表示出x0和y0，易判斷p點(diǎn)在x軸上方，從而得一關(guān)于x0，y0的不等式組，將坐標(biāo)代入，解出即可；

解析：

（1）由題意可知：橢圓的離心率， ∴，

故橢圓的方程為

（2）設(shè)直線的方程為， ， 坐標(biāo)分別為，

由得

.

∴， ，

∴， 。

∴=

將韋達(dá)定理代入，并整理得

，解得

.

∴直線與軸相交于定點(diǎn)；

（3）由（2）中，

其判別式，得.①

設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則

，

∵弦的中點(diǎn)落在內(nèi)（包括邊界），∴

將坐標(biāo)代入，整理得

解得

由①②得所求范圍為或