【題目】已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的極值；
（2）若函數(shù)
有兩個零點
，求
的取值范圍，并證明
.
【答案】（1）當(dāng)
時， 
在
處取得的極大值
；函數(shù)
無極小值. （2）
證明見解析
【解析】試題分析：（1）求出
，令
求得
的范圍，可得函數(shù)
增區(qū)間，令
求得
的范圍，可得函數(shù)
的減區(qū)間，從而可得函數(shù)
的極值；（2）對
進行討論： 
， 
， 
， 
，針對以上四種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性討論函數(shù)
有兩個零點情況，排除不是兩個零點的情況，可得
有兩個零點時， 
的取值范圍是
，由（1）知
在
單調(diào)遞減，故只需證明
即可，又
，只需利用導(dǎo)數(shù)證明
即可.
試題解析：（1）由
得
，
當(dāng)
時， 
，若
；若
，
故當(dāng)
時， 
在
處取得的極大值
；函數(shù)
無極小值.
（2）當(dāng)
時，由（1）知
在
處取得極大值
，且當(dāng)
趨向于
時， 
趨向于負無窮大，又
有兩個零點，則
，解得
.
當(dāng)
時，若
；若
；若
，則
在
處取得極大值，在
處取得極小值，由于
，則
僅有一個零點.
當(dāng)
時， 
，則
僅有一個零點.
當(dāng)
時，若
；若
；若
，則
在
處取得極小值，在
處取得極大值，由于
，則
僅有一個零點.
綜上， 
有兩個零點時， 
的取值范圍是
.
兩零點分別在區(qū)間
和
內(nèi)，不妨設(shè)
.
欲證
，需證明
，
又由（1）知
在
單調(diào)遞減，故只需證明
即可.
，
又
，
所以
，
令
，則
，
則
在
上單調(diào)遞減，所以
，即
，
所以
.
海淀黃岡名師導(dǎo)航系列答案
普通高中同步練習(xí)冊系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知在三棱臺
中，
，
，
.
（1）求證：
；
（2）過
的平面
分別交
，
于點
，
，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為
，幾何體
為棱柱，求
的長.
提示：臺體的體積公式
（
，
分別為棱臺的上、下底面面積，
為棱臺的高）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓
的離心率為
，左、右焦點分別為
，點D在橢圓C上，
的周長為
.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過圓
上任意一點P作圓E的切線l，若l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，求證：
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知動直線l過右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
是橢圓
與拋物線
的一個公共點，且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點
．
（1）求橢圓
及拋物線
的方程；
（2）設(shè)過且互相垂直的兩動直線
，
與橢圓交于
兩點，
與拋物線交于
兩點，求四邊形
面積的最小值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
．
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)存在兩個極值點
，
，且
，證明：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，
.
（1）判斷函數(shù)：
在
的單調(diào)性；
（2）對于區(qū)間
上的任意不相等實數(shù)
、
，都有
成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）判斷函數(shù)
的奇偶性，并說明理由；
（2）已知不等式
在
上恒成立，求實數(shù)
的最大值；
（3）當(dāng)
時，求函數(shù)
的零點個數(shù)．
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