Question

已知向量

m

=（cos

x

4

，1），

n

=（

3

sin

x

4

，cos²

x

4

）．
（1）若

m

•

n

=1，求cos（

2π

3

-x）的值；
（2）記f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算列出關(guān)系式，再利用二倍角的余弦函數(shù)公式求出cos（x+

π

3

）的值，利用由公式化簡(jiǎn)所求式子后，將cos（x+

π

3

）的值代入即可求出值；
（2）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出cosB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進(jìn)而確定出A的度數(shù)，求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

m

=（cos

x

4

，1），

n

=（

3

sin

x

4

，cos²

x

4

），
∴

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
則cos（

2π

3

-x）=-cos（x+

π

3

）=-

1

2

；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，即B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，即

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，
又∵f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
故函數(shù)f（A）的取值范圍是（1，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．