Question

已知過點(diǎn)A（1，1）且斜率為-m（m＞0）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q，過P、Q作直線2x+y=0的垂線，垂足為R、S，求四邊形PRSQ面積的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)l的方程，求出P、Q的坐標(biāo)，得到PR和QS的方程，利用平行線間的距離公式求出|RS|，
由四邊形PRSQ為梯形，代入梯形的面積公式，再使用基本不等式可求四邊形PRSQ的面積的最小值．

解答：解：設(shè)l的方程為y-1=-m（x-1），
則P（1+

1

m

，0），Q（0，1+m）．
從而可得直線PR和QS的方程分別為
x-2y-

m+1

m

=0和x-2y+2（m+1）=0．
又PR∥QS，
∴|RS|=

|2m+2+1+ 1 m |

5

=

3+2m+ 1 m

5

．又|PR|=

2+ 2 m

5

，
|QS|=

m+1

5

，
四邊形PRSQ為梯形，
S_{四邊形PRSQ}   ;=

1

2

[

2+ 2 m

5

+

m+1

5

]•

3+2m+ 1 m

5

=

1

5

（m+

1

m

+

9

4

）²-

1

80

≥

1

5

（2+

9

4

）²-

1

80

=3.6．
∴四邊形PRSQ的面積的最小值為3.6．

點(diǎn)評：本題考查直線方程的應(yīng)用，2條平行線間的距離公式的應(yīng)用，使用基本不等式求式子的最小值．