Question

已知過(guò)點(diǎn)A（-1，1）的直線與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1交于點(diǎn)B、C，當(dāng)直線l繞點(diǎn)A（-1，1）旋轉(zhuǎn)時(shí)，求弦BC中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析：利用點(diǎn)差法來(lái)求弦的中點(diǎn)問(wèn)題．可先設(shè)弦BC的中點(diǎn)M以及B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線BC斜率分別用A點(diǎn)坐標(biāo)以及M點(diǎn)坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)即可得含x，y的方程，即弦BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答：解：設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）、M（x，y），直線BC：y-1=k（x+1）
由于橢圓

x2

8

+

y2

4

=1可化為：x²+2y²=8．
則x₁²+2y₁²=8①，x₂²+2y₂²=8②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得：

2(y1+y2)

x1+x2

•

y1-y2

x1-x2

=-1
化簡(jiǎn)得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

2y

x

，代入y-1=k（x+1），
整理得：x²+2y²+x-2y=0，即為BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)軌跡方程問(wèn)題，屬于圓錐曲線的常規(guī)題．