Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA、
（Ⅰ）證明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直線BD與平面PCD所成的角的大��；
（Ⅲ）求平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的正切值．

Answer 1

分析：（I）取PD的中點E，連EO，EM．根據三角形中位線定理，易判斷四邊形MAOE是平行四邊形，則ME∥AC，結合線面平行的判定定理，可得AC∥平面PMD；
（Ⅱ）由已知中PB⊥平面ABCD，CD⊥BC，我們結合線面垂直的性質及判定可得CD⊥平面PBC，再由面面垂直的判定可得面PBC⊥平面PCD，過B作BF⊥PC于F，連DF，易得∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角，解三角形BDF，即可求出直線BD與平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）分別延長PM，BA，設PM∩BA=G，連DG，過A作AN⊥DG于N，連MN，．則∠MNA是平面PMD與平面ABCD所成的二面角的平面角，解三角形MNA，即可求出平面PMD與平面ABCD所成的二面角（銳角）的正切值．

解答：證明：（Ⅰ）如圖，取PD的中點E，連EO，EM．

∵EO∥PB，EO=

1

2

PB，MA∥PB，MA=

1

2

PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四邊形MAOE是平行四邊形．
∴ME∥AC、
又∵AC?平面PMD，ME?平面PMD，
∴AC∥平面PMD．（3分）
解：（Ⅱ）如圖，PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PB．
又∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面PBC、
∵CD?平面PCD，
∴平面PBC⊥平面PCD、

過B作BF⊥PC于F，則BF⊥平面PDC，連DF，則DF為BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直線BD與平面PDC所成的角．
不妨設AB=2，則在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=

1

2

PC=

2

．
∵BD=2

2

．
∴在Rt△BFD中，BF=

1

2

BD，
∴∠BDF=

π

6

．
∴直線BD與平面PCD所成的角是

π

6

．（5分）
（Ⅲ）如圖，

分別延長PM，BA，設PM∩BA=G，連DG，
則平面PMD∩平面ABCD=DG．
不妨設AB=2，
∵MA∥PB，PB=2MA，
∴GA=AB=2．
過A作AN⊥DG于N，連MN．
∵PB⊥平面ABCD，
∴MA⊥平面ABCD，∴MN⊥DG．
∴∠MNA是平面PMD與平面ABCD
所成的二面角的平面角（銳角）．
在Rt△MAN中，
tan∠MNA=

MA

NA

=

2

2

．
∴平面PMD與平面ABCD所成的二面角的正切值是

2

2

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求示，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，其中在求線面夾角及二面角時，找出其平面角是解答此類問題的關鍵．