Question

已知圓和直線
(1) 求證:不論取什么值,直線和圓總相交;
(2) 求取何值時(shí),圓被直線截得的弦最短,并求最短弦的長(zhǎng).

Answer 1

(1)見(jiàn)解析 (2) 當(dāng)時(shí)，圓被直線截得最短的弦長(zhǎng)為4

（1）由直線l的方程可得從而可確定直線l恒過(guò)定點(diǎn)(4,3),
再證明定點(diǎn)（4，3）在圓內(nèi)部即可.
（2）由弦長(zhǎng)公式可知當(dāng)定點(diǎn)P（4，3）為弦的中點(diǎn)時(shí)，圓心到直線l的距離最大，弦長(zhǎng)最短，所以此時(shí)直線l與CP垂直.
解:(1)證明:由直線的方程可得,,則直線恒通過(guò)點(diǎn)
,把代入圓C的方程,得,所以點(diǎn) 在圓的內(nèi)部,
又因?yàn)橹本�恒過(guò)點(diǎn), 所以直線與圓C總相交.
(2)設(shè)圓心到直線的距離為,則

又設(shè)弦長(zhǎng)為,則,即.
∴當(dāng)時(shí),
所以圓被直線截得最短的弦長(zhǎng)為4.