Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n=1，2，3，…．
求證：100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

Answer 1

分析：為了證明100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．先用數(shù)學歸納法證明等式：（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）．故首先檢驗當n=1時，等式兩邊成立，再假設當n=k時，等式兩邊成立，寫出此時的等式，準備后面要用，再檢驗當n=k+1時，等式成立，使用n=k時的條件，整理出結果，最后總結對于所有的自然數(shù)結論都成立．從而證得100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

解答：證明：先用數(shù)學歸納法證明等式：（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）．
證（1）當n=1時，左邊=2+f（1）=2+1=3，右邊=2(f(2))=2(1+

1

2

)=3
∴左邊=右邊，∴等式成立．…（3分）
（2）假設n=k時，等式成立，即（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（k））=（k+1）f（k+1）
上式兩邊同時加1+f（k+1）得：（k+1）+1+f（1）+f（2）+…f（k）+f（k+1）=（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）
∵（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）=（k+2）f（k+1）+1，
∴（k+1）f（k+2）+f（k+1）+1-（k+2）f（k+2）=（k+2）[f（k+1）-f（k+2）]+1
=(k+2)(-

1

k+2

)+1=0．
∴（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）=（k+2）f（k+2）
∴[（k+1）+1]+f（1）+f（2）+…+f（k）+f（k+1）=（k+2）f（k+2）
∴n=k+1時等式也成立．…（8分）
由（1）、（2）知，等式（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）
對一切n∈N^*都成立．
∴100+f（1）+f（2）+…+f（99）=100f（100）．…（10分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法，在證明和自然數(shù)有關的等式或不等式時，一般應用數(shù)學歸納法，實際上這種問題證明是有一個固定的模式可以套用，這是注意在由n=k變化為n=k+1時，千萬要用n=k的結論．