Question

如圖,在四棱椎P－ABCD中,底面ABCD是邊長為的正方形,且PD=,PA=PC=.

(1)求證:直線PD⊥面ABCD;
(2)求二面角A－PB－D的大小.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

(1)本小題可通過證，和來達(dá)到證明直線PD⊥面ABCD的目的。
（2）解決本小題的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取AP中點(diǎn)H，過H作于G，連結(jié)DG。則為所求二面角平面角,然后解三角形求角即可。
解：（1）在中，，
即，同理又AD、CD平面ABCD，
直線PD
（2）解法一：
如圖,連結(jié)AC和BD，設(shè)

由（1）知，又，且
PD、BD平面PBD，直線AC平面PBD，
過點(diǎn)O作E為垂足，連結(jié)AE，由三垂線定理知
， 為二面角A-PB-D的平面角
AB，所以面ABCD，故ABPD，
從而AB面PAD，故ABPA，
在中，在中，
在中，
二面角A-PB-D的平面角為.
解法二：取AP中點(diǎn)H，過H作于G，連結(jié)DG

則為所求二面角平面角，
解法三：利用空間向量