Question

已知函數(shù)，（，為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意的，恒成立，求的最小值；
（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；（2）實數(shù)的最小值為；
（3）實數(shù)的取值范圍是.

解析試題分析：（1）把代入函數(shù)的解析式，直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域上的單調(diào)區(qū)間；（2）利用參數(shù)分離法將問題中的不等式等價轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即，進而求出參數(shù)的取值范圍，從而求出的最小值；（3）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出方程的唯一根，將條件“對于任意給定的
，在總存在兩個不同的，使得”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點，即，且函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上的值域均包含函數(shù)在區(qū)間上的值域”，從而列出相應(yīng)的不等式進行求解參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時，，，
由，，由，，
故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（2）即對，恒成立，
令，，則，
再令，，，
在上為減函數(shù)，于是，
從而，，于是在上為增函數(shù)，，
故要恒成立，只要，即的最小值為；
（3），當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
，，，
所以，函數(shù)在上的值域為.
當(dāng)時，不合題意；