Question

設(shè)是定義在上的函數(shù)，用分點

      

將區(qū)間任意劃分成個小區(qū)間，如果存在一個常數(shù)，使得和式（）恒成立，則稱為上的有界變差函數(shù).

（1）函數(shù)在上是否為有界變差函數(shù)？請說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明：為上的有界變差函數(shù)；

（3）若定義在上的函數(shù)滿足：存在常數(shù)，使得對于任意的、 時，.證明：為上的有界變差函數(shù).

Answer 1

解：（1）函數(shù)在上是增函數(shù)，對任意劃分，

  ，

取常數(shù)，則和式（）恒成立，

所以函數(shù)在上是有界變差函數(shù).          …………4分

（2）函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù)，

且對任意劃分，

     

，

一定存在一個常數(shù)，使，

故為上的有界變差函數(shù).                    …………9分

（3）

對任意劃分，

，

取常數(shù)，

由有界變差函數(shù)定義知為上的有界變差函數(shù). …………14分