Question

【題目】（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，，

分別為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面平面．

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】．證明：（Ⅰ）∵四邊形是菱形，

∴．

在中，，，

∴．

∴，即．

又， ∴．…………………2分

∵平面，平面，

∴ ．又∵，

∴平面，………………………………………4分

又∵平面，

平面平面． ………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面………………………6分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．…………………………8分

∴平面是平面與平面的公垂面．

所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．……9分

在中，，即．……………10分

又，

∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…………12分

理（Ⅱ）解法二：以為原點，、分別為軸、軸的正方向，

建立空間直角坐標系，如圖．

因為，，∴、、、6分

則，，．………7分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一個法向量為．……………………8分

設平面的一個法向量為，

則，即，令，

則． …………………10分

∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……………12分

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵四邊形是菱形，

∴．

在中，，，

∴．

∴，即．

又， ∴．…………………2分

∵平面，平面，

∴ ．又∵，

∴平面，………………………………………4分

又∵平面，

平面平面． ………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面………………………7分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．…………………………9分

∴平面是平面與平面的公垂面．

所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．……10分

在中，，即．……………11分

又，

∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…………14分

理（Ⅱ）解法二：以為原點，、分別為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，，所以，

、、、，…………7分

則，，．………8分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一個法向量為．……………………9分

設平面的一個法向量為，

則，即，令，

則． …………………11分

∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……14分