Question

【題目】設函數(shù)，其中.

（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍；

（2）若，且對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，利用配方法可知當時有最小值，當時有最大值.（2）由（1）知函數(shù)對稱軸為，由此將分成兩類，討論函數(shù)的最大值，并使最大值小于或等于，由此求得實數(shù)的取值范圍.（3）將問題轉化為函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值之差的絕對值小于等于來解決.對分成四類，討論函數(shù)的最值，并求得的取值范圍.

試題解析： ，所以在區(qū)間上單調減，在區(qū)間上單調增，且對任意的，都有，

（1）若，則.

在區(qū)間上的取值范圍為.

（2）“對任意的，都有”等價于“在區(qū)間上， ”.

時，則，

所以在區(qū)間上單調減，在區(qū)間上單調增.

當，即時，由，得，

從而.

當，即時，由，得，

從而.

綜上， 的取值范圍為區(qū)間.

（3）設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，

所以“對任意的，都有”等價于“”.

①當， .

由，得.

從而.

②當， .

由，得.

從而.

③當， .

由，得.

從而.

④當， .

由，得.

從而.

綜上， 的取值范圍為區(qū)間.