Question

曲線C是平面內(nèi)到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0）的點(diǎn)的軌跡．給出下列四個結(jié)論：
①曲線C過點(diǎn)（-1，1）；
②曲線C關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|+|PB|不小于2k
④設(shè)p₁為曲線C上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P₁關(guān)于直線x=-1、點(diǎn)（-1，1）及直線y=1對稱的點(diǎn)分別為P₁、P₂、P₃，則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積為定值4k²．
其中，所有正確結(jié)論的序號是________．

Answer 1

②③④
分析：由題意曲線C是平面內(nèi)到直線l₁：x=-1和直線l₂：y=1的距離之積等于常數(shù)k²（k＞0）的點(diǎn)的軌跡．利用直接法，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），及可得到動點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷．
解答：由題意設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則利用題意及點(diǎn)到直線間的距離公式的得：|x+1||y-1|=k²，
對于①，將（-1，1）代入驗(yàn)證，此方程不過此點(diǎn)，所以①錯；
對于②，把方程中的x被-2-x代換，y被2-y 代換，方程不變，故此曲線關(guān)于（-1，1）對稱．②正確；
對于③，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，點(diǎn)A，B分別在直線l₁，l₂上，則|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y-1|
∴|PA|+|PB|≥2=2k，③正確；
對于④，由題意知點(diǎn)P在曲線C上，根據(jù)對稱性，
則四邊形P₀P₁P₂P₃的面積=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k²．所以④正確．
故答案為：②③④．
點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了利用直接法求出動點(diǎn)的軌跡方程，并化簡，利用方程判斷曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．