Question

【題目】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，E、F分別為A1C1、B1C1的中點，D為棱CC1上任一點．
（Ⅰ）求證：直線EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABD⊥平面BCC1B1 ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為E、F分別為A1C1，B1C1的中點，所以EF∥A1B1∥AB

而EF面ABD，AB面ABD，所以直線EF∥平面ABD

（Ⅱ）因為三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，所以AB⊥BB1，又AB⊥BC，

而BB1面BCC1B1，BC面BCC1B1，且BB1∩BC=B，所以AB⊥面BCC1B1

又AB面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1

【解析】（I）因為E、F分別為A1C1，B1C1的中點，由三角形中位線定理，我們易證明EF∥AB，根據(jù)線面平行的判定定理，我們易得直線EF∥平面ABD；（Ⅱ）由已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，結(jié)合線面垂直判定定理，我們易得AB⊥面BCC1B1，再由面面垂直判定定理，即可得到平面ABD⊥平面BCC1B1．