Question

【題目】已知圓的圓心在軸上，點(diǎn)是圓的上任一點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，到直線距離最大.

（1）求直線被圓截得的弦長；

（2）已知，經(jīng)過原點(diǎn)，且斜率為的直線與圓交于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）求證：為定值；

（Ⅱ）若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）當(dāng)到直線距離最大時(shí)，與垂直，可求出圓心的坐標(biāo)，從而可以求出圓的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，再由可得到弦長；（2）設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，可得到關(guān)于的一元二次方程，及根與系數(shù)關(guān)系。對(duì)于（Ⅰ）由代入根與系數(shù)關(guān)系可得到定值；對(duì)于（Ⅱ）可化為，代入根與系數(shù)關(guān)系即可求出，從而得到答案。

（1）由題意，設(shè)圓心，當(dāng)的坐標(biāo)為時(shí)，，

，.

，，所以半徑為.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

圓心到直線的距離為，

所求弦長為.

（2）設(shè)直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，

可得，

，.

（Ⅰ）為定值；

（Ⅱ）

，

.

.

直線的方程為.