Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的（ ）
A.既不充分也不必要的條件
B.充分而不必要的條件
C.必要而不充分的條件
D.充要條件

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴若f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，則f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，
又∵f（x）是定義在R上的以2為周期的函數(shù)，且[3，4]與[﹣1，0]相差兩個(gè)周期，
∴兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，故充分性成立．
若f（x）為[3，4]上的減函數(shù)，同樣由函數(shù)周期性可得出f（x）為[﹣1，0]上是減函數(shù)，再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f（x）為[0，1]上的增函數(shù)，故必要性成立．
綜上，“f（x）為[0，1]上的增函數(shù)”是“f（x）為[3，4]上的減函數(shù)”的充要條件．
故選D．
【考點(diǎn)精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．