Question

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的每條棱長(zhǎng)均為a,M為棱A₁C₁上的動(dòng)點(diǎn).

(1)當(dāng)M在何處時(shí),BC₁∥平面MB₁A,并證明之;

(2)若BC₁∥平面MB₁A,求平面MB₁A與平面ABC所成的銳二面角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);

(3)求三棱錐B—AB₁M體積的最大值.

Answer 1

解:(1)當(dāng)M是A₁C₁中點(diǎn)時(shí),BC₁∥平面MB₁A.

∵M(jìn)為A₁C₁中點(diǎn),延長(zhǎng)AM、CC₁,設(shè)AM與CC₁延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,則NC₁=C₁C=a.

連結(jié)NB₁并延長(zhǎng)與CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,

則BG=CB,NB₁=B₁G.

在△CGN中,BC₁為中位線,∴BC₁∥GN.

又GN平面MAB₁,BC₁?平面MAB₁,

∴BC₁∥平面MAB₁.

(2)∵BC₁∥平面MB₁A,

∴M為A₁C₁中點(diǎn).

在△AGC中,BC=BA=BG,

∴∠GAC=90°,即AC⊥AG.

又AG⊥AA₁,AA₁∩AC=A,

∴AG⊥平面A₁ACC₁.

∴AG⊥AM.

∴∠MAC為平面MB₁A與平面ABC所成二面角的平面角.

∴tan∠MAC==2.

∴所求銳二面角大小為arctan2.

(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到平面A₁ABB₁的距離為h_m,

則===×a²h_m≤a³.

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C₁重合時(shí),三棱錐B—AB₁M的體積最大,最大值為a³.