Question

（2009•湖北模擬）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都為a，P為棱A₁B上的動點．
（Ⅰ）試確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點C₁到面PAC的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，過A點與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用

CP

•

AB

=0可求A₁P：PB=1．
（Ⅱ）當(dāng)A₁P：PB=2：3時，求得P點的坐標(biāo)是(

2a

5

，0，

3a

5

)．分別求出平面PAC、ABC的一個法向量．再用公式可求
（Ⅲ）設(shè)C₁到面PAC的距離為d，利用d=

| n • C1C |

| n |

=

a

2

，可求．

解答：解：（Ⅰ）以A為原點，AB為x軸，過A點與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，
設(shè)P（x，0，z），則B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、C(

a

2

，

3 a

2

，0)．

（Ⅰ）由

CP

•

AB

=0得(x-

a

2

，-

3 a

2

，z)•(a，0，0)=0，
即(x-

a

2

)•a=0，∴x=

1

2

a，即P為A₁B的中點，
也即A₁P：PB=1時，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）當(dāng)A₁P：PB=2：3時，P點的坐標(biāo)是(

2a

5

，0，

3a

5

)．取

m

=(3，-

3

，-2)．
則

m

•

AP

=(3，-

3

，-2)•(

2a

5

，0，

3a

5

)=0，

m

•

AC

=(3，-

3

，-2)•(

a

2

，

3 a

2

，0)=0．
∴

m

是平面PAC的一個法向量．
又平面ABC的一個法向量為

n

=(0，0，1)．
∴cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…8′
（Ⅲ）設(shè)C₁到面PAC的距離為d，則d=

| n • C1C |

| n |

=

a

2

，∴C₁到面PAC的距離為

1

2

a．…12′

點評：本題以正三棱柱為載體，考查空間向量的運用，考查線線位置關(guān)系，考查二面角，考查點到面距離．