Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面邊長為8，對角線B₁C=10，
（1）若D為AC的中點，求證：AB₁∥平面C₁BD；
（2）若CD=2AD，BP=λPB₁，當λ為何值時，AP∥平面C₁BD；
（3）在（1）的條件下，求直線AB₁到平面C₁BD的距離．

Answer 1

分析：（1）連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁交于點E，連接DE，則E為B₁C中點，利用DE是△CAB₁的中位線證出DE∥AB₁．
（2）λ=1時，AP∥平面C₁BD．連接PC，設(shè)PC與BC₁交于點F，連接DF．利用CF：FP=CD：AD=2：1．
得出DF∥AP，從而AP∥平面C₁BD．
（3）將直線AB₁到平面C₁BD的距離轉(zhuǎn)化為點A到平面C₁BD的距離．利用等體積法求出距離即可．

解答：解：（1）連接B₁C，設(shè)B₁C與BC₁交于點E，連接DE，
則E為B₁C中點，又D為AC的中點，
∴DE是△CAB₁的中位線，
∴DE∥AB₁，
又DE?平面BDC₁，AB₁?平面C₁BD，
∴AB₁∥平面C₁BD．
（2）λ=1時，AP∥平面C₁BD；
證明如下：連接PC，設(shè)PC與BC₁交于點F，連接DF．
當λ=1時，P為B₁B中點，C₁C：PB=CF：FP=2：1，
又CD=2AD，∴CF：FP=CD：AD=2：1．
∴DF∥AP，
又DF?平面BDC₁，AP?平面C₁BD，
∴AP∥平面C₁BD．
（3）由（1）當D為AC的中點時，AB₁∥平面C₁BD；
∴點A到平面C₁BD的距離等于直線AB₁到平面C₁BD的距離，記為h．
正三棱柱的高C₁C=

B1C2- B1C12

=

102-82

=6．
由正三棱柱性質(zhì)可知面CC₁⊥面ABC，BD?面ABC，∴CC₁⊥BD．
又在正三角形ABC中，D為AB中點，∴AC⊥BD，
∵AC∩CC₁=C，∴，BD⊥面A₁ACC₁，DC₁?面A₁ACC₁，∴BD⊥DC₁，
∴△BDC₁ 是直角三角形．
∵S_△ABD=

1

2

AD×BD=

1

2

AD×

AB2-AD2

=

1

2

×4×

82-42

=8

3

．
C₁D=

C1C2+CD2

=

62+42

=2

13

．
∴S_△BDC1=

1

2

BD×C₁D=

1

2

×4

3

×2

13

=4

39

．
∵VA-C₁BD=VC1-ABD．
∴

1

3

S_△BDC1=×h=

1

3

S_△ABD=×C₁C
代入數(shù)據(jù)，得出

1

3

×4

39

×h=

1

3

×8

3

．×6
h=

12

13

=

12 13

13

．
∴直線AB₁到平面C₁BD的距離為

12 13

13

．

點評：本題考查直線和平面平行關(guān)系的證明與判定，點面距的求解．考查分析、探索、轉(zhuǎn)化、計算論證能力．求點面距的幾何法常用兩種：直接作出或找出距離，通過解直角三角形解決，或利用等體積轉(zhuǎn)化法．