Question

【題目】如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD= ．

（1）求證：CD⊥平面ADS；
（2）求AD與SB所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD

又SD⊥AB，AB∥CD，則CD⊥SD

AD⊥SD

∴CD⊥平面ADS

（2）解：矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，

∴要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角

在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．

∴Rt△SDC中，

∴CD是CS在面ABCD內(nèi)的射影，且BC⊥CD，

∴SC⊥BC

tan∠SBC=

cos∠SBC=

從而SB與AD的成的角的余弦為

（3）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB

∴SD⊥面ABCD．

∴平面SDB⊥平面ABCD，BD為面SDB與面ABCD的交線．

∴過A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB

又過A作AF⊥SB于F，連接EF，

從而得：EF⊥SB

∴∠AFB為二面角A﹣SB﹣D的平面角

在矩形ABCD中，對角線∵

BD= ∴在△ABD中，AE=

由（2）知在Rt△SBC， ．

而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，

∴△SAB為等腰直角三角形且∠SAB為直角，

∴

∴

所以所求的二面角的余弦為

【解析】（1）要證CD⊥平面ADS，只需證明直線CD垂直平面ADS內(nèi)的兩條相交直線AD、SD即可；（2）要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角，解三角形可求AD與SB所成角的余弦值；（3）過A作AE⊥DB于E 又過A作AF⊥SB于F，連接EF，說明∠AFB為二面角A﹣SB﹣D的平面角，解三角形可求二面角A﹣SB﹣D的余弦值．
【考點精析】掌握異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．