Question

已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

給定，若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為(

2

，1)，則z=

OM

•

OA

的最大值為

4

．

Answer 1

分析：首先畫出可行域，z=

OM

•

OA

代入坐標變?yōu)閦=

2

x+y，即y=-

2

x+z，z表示斜率為 -

2

的直線在y軸上的截距，故求z的最大值，即求y=-

2

x+z與可行域有公共點時在y軸上的截距的最大值．

解答：解：由不等式組

0≤x≤ 2 y≤2 x≤ 2 y

給定的區(qū)域D如圖所示：
z=

OM

•

OA

=

2

x+y，即y=-

2

x+z
首先做出直線l₀：y=-

2

x，將l₀平行移動，當經過B點時在y軸上的截距最大，從而z最大．
因為B（

2

，2），故z的最大值為4．
故答案為：4．

點評：本題考查線性規(guī)劃、向量的坐標表示、平面向量數(shù)量積的運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題．