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        1. 已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組
          0≤x≤
          2
          y≤2
          x≤
          2
          y
          給定,若M(x,y)為D上的動點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
          2
          ,1)
          ,
          (1)求區(qū)域D的面積
          (2)設(shè)z=
          2
          x+y
          ,求z的取值范圍;
          (3)若M(x,y)為D上的動點(diǎn),試求(x-1)2+y2的最小值.
          分析:(1)作出題中不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,得到如圖所示的直角梯形OABC及其內(nèi)部,其中A(
          2
          ,1),B(
          2
          ,2),C(0,2),由梯形面積公式即可算出區(qū)域D的面積;
          (2)將目標(biāo)函數(shù)z=
          2
          x+y
          對應(yīng)的直線進(jìn)行平移,可得當(dāng)x=
          2
          ,y=2時z達(dá)到最大值;當(dāng)x=y=0時z達(dá)到最小值.由此即可得到z的取值范圍;
          (3)設(shè)N(1,0),可得(x-1)2+y2表示N、M兩點(diǎn)之間的距離平方值,運(yùn)動點(diǎn)M可得當(dāng)M在OA上且MN⊥OA時,MN取到最小值.因此結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,即可算出(x-1)2+y2的最小值.
          解答:(1)由不等式組
          0≤x≤
          2
          y≤2
          x≤
          2
          y
          表示的平面區(qū)域,得到四邊形ABCO及其內(nèi)部,
          其中A(
          2
          ,1),B(
          2
          ,2),C(0,2)
          ∴平面區(qū)域D是如圖所示的直角梯形OABC,其面積為
          S=
          1
          2
          (AB+CO)×BC=
          3
          2
          2
          (3分)
          (2)將z=
          2
          x+y
          對應(yīng)的直線l進(jìn)行平移,可得
          當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時,z達(dá)到最大值;當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)0時,z達(dá)到最小值
          ∴zmax=
          2
          ×
          2
          +2=4,zmin=0
          由此可得,z的取值范圍是[0,4]-----(7分)
          (3)設(shè)N(1,0),結(jié)合M(x,y)為D上的動點(diǎn),可得
          (x-1)2+y2=|MN|2
          運(yùn)動點(diǎn)M,可得當(dāng)點(diǎn)M與N在直線OA上的射影重合,即MN⊥OA時
          點(diǎn)M、N的距離最短,此時|MN|=
          1
          1+2
          =
          3
          3

          ∴|MN|2的最小值為
          1
          3
          ,即(x-1)2+y2的最小值是
          1
          3
          .(12分)
          點(diǎn)評:本題給出不等式組表示的平面區(qū)域,求區(qū)域的面積并討論目標(biāo)函數(shù)的取值范圍,著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域、點(diǎn)到直線的距離公式和簡單的線性規(guī)劃等知識,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知平面直角坐標(biāo)系中,A(cosx,sinx),B(1,1),
          OA
          +
          OB
          =
          OC
          ,f(x)=|
          OC
          |2
          (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和對稱中心;
          (Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知平面直角坐標(biāo)系中,角α的始邊與x正半軸重合,終邊與單位圓(圓心是原點(diǎn),半徑為1的圓)交于點(diǎn)P.若角α在第
          一象限,且tanα=
          4
          3
          .將角α終邊逆時針旋轉(zhuǎn)
          π
          3
          大小的角后與單位圓交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•宜賓二模)已知平面直角坐標(biāo)系xoy上的區(qū)域D由不等式組
          x+y≥2
          x≤1
          y≤2
          給定,若M(x,y)為D上的動點(diǎn),A的坐標(biāo)為(-1,1),則
          OA
          OM
          的取值范圍是
          [0,2]
          [0,2]

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的定點(diǎn)M(2,0)和定直線l:x=-
          3
          2
          ,動點(diǎn)P在直線l上的射影為Q,且4(
          PQ
          +
          PM
          )•(
          PQ
          -
          PM
          )+2
          PM
          OM
          =1

          (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
          (2)設(shè)A、B是軌跡C上兩個動點(diǎn),
          MA
          MB
          ,λ∈R,∠AOB=θ,請把△AOB的面積S表示為θ的函數(shù),并求此函數(shù)的定義域.

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          同步練習(xí)冊答案