Question

設x、y均為正實數(shù)，且

3

2+x

+

3

2+y

=1，以點（x，y）為圓心，R=xy為半徑的圓的面積最小時圓的標準方程為

（x-4）²+（y-4）²=256

．

Answer 1

分析：由已知的關于x與y的等式，用y表示出x，將表示出的x代入xy中，設z=y-1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此時z的值，進而確定出此時x與y的值，確定出所求圓的圓心與半徑，寫出所求圓的標準方程即可．

解答：解：∵

3

2+x

+

3

2+y

=1，
∴x=

8+y

y-1

，令z=y-1，則y=z+1，
∴xy=

y2+8y

y-1

=

(z+1)2+8(z+1)

z

=

z2+10z+9

z

=z+

9

z

+10≥6+10=16，
當且僅當z=

9

z

，即z=3時取等號，
此時y=4，x=4，半徑xy=16，
則此時所求圓的方程為（x-4）²+（y-4）²=256．
故答案為：（x-4）²+（y-4）²=256

點評：此題考查了圓的標準方程，以及基本不等式的運用，利用了換元的數(shù)學思想，求出圓心坐標與半徑是解本題的關鍵．