Question

【題目】在多面體中，四邊形是正方形， ， ， ， .

（Ⅰ） 求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上確定一點，使得平面與平面所成的角為.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）當(dāng)點滿足時，平面與平面所成角的大小為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可證明平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 平面，則平面平面

如圖，過點作平面的垂線，以點為坐標(biāo)原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點及向量的坐標(biāo)，設(shè)平面的一個法向量，令，得

.

易知平面的一個法向量.由向量的夾角公式

， 化簡得， .

即當(dāng)點滿足時，平面與平面所成角的大小為.

試題解析：（Ⅰ） 四邊形是正方形， .

在中， ，即得

，即，在梯形中，過點作，交于點.

， ， ，

在中，可求， ，

， .

又，

平面，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，

平面，又平面，

平面平面

如圖，過點作平面的垂線，

以點為坐標(biāo)原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ， ，.

設(shè)， ，則.

設(shè)平面的一個法向量，則，

即令，得

.

易知平面的一個法向量.

由已知得 ，

化簡得， .

當(dāng)點滿足時，平面與平面所成角的大小為.