Question

【題目】已知以為首項(xiàng)的數(shù)列滿足：.

（1）當(dāng)時(shí)，且，寫出、；

（2）若數(shù)列是公差為-1的等差數(shù)列，求的取值范圍；

（3）記為的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，

①給定常數(shù)，求的最小值；

②對(duì)于數(shù)列，，…，，當(dāng)取到最小值時(shí)，是否唯一存在滿足的數(shù)列？說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2） ；（3）①為奇數(shù)時(shí)最小值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)最小值為 ； ②不唯一，理由見解析。

【解析】

（1）根據(jù)首項(xiàng)，及遞推公式，依次代入和即可求得、的值。

（2）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，表示出，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可得，再根據(jù)即可求得的取值范圍。

（3）將代入，求得……值，即可表示出的最小值；舉出特例，說明使得成立的數(shù)列不唯一即可。

（1）因?yàn)?/span>，且，

所以當(dāng) 時(shí)，即

所以當(dāng) 時(shí)，即

（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為-1的等差數(shù)列

所以，即①，

而，則，即

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>

所以或與①矛盾，（舍）

所以

所以

（3）當(dāng)時(shí)

所以，或，或…..

①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的最小值為，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的最小值為

②不唯一

因?yàn)闈M足

如數(shù)列 和 ，兩個(gè)數(shù)列都滿足

因而不存在唯一的數(shù)列滿足式子