Question

【題目】長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，BC= ，E為CC1的中點．

（1）求證：平面A1BE⊥平面B1CD；
（2）平面A1BE與底面A1B1C1D1所成的銳二面角的大小為θ，當 時，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD⊥平面BCC1B1，

∴CD⊥BE，

∵E為CC1的中點，

∴△B1BC∽△BCE，

∴∠EBC=∠BB1C，

∴∠EBB1+∠BB1C=90°，

∴BE⊥B1C，

∴B1C∩CD=C，

∴BE⊥平面B1CD，

∵BE平面A1BE，

∴平面A1BE⊥平面B1CD；

（2）解：以D為坐標原點，建立坐標系，設(shè)AB=a，則

A1（ ，0，2），B（ ，a，0），E（0，a，1），

∴ =（0，a，﹣2）， =（﹣ ，a，﹣1），

設(shè)平面A1BE的法向量為 =（x，y，z），則 ，

∴可取 =（ ，1， ）

∵底面A1B1C1D1的法向量為 =（0，0，1），

∴cosθ= = ，

∵ ，

∴ ，

∴ ＜ ＜2，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）證明：平面A1BE⊥平面B1CD，只需要證明BE⊥平面B1CD即可；（2）以D為坐標原點，建立坐標系，設(shè)AB=a，求出平面A1BE的法向量，底面A1B1C1D1的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合 ，即可求θ的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．