Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AB=2 ，AD= ，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求證：AD⊥BM；
（2）若點E是線段DB上的一動點，問點E在何位置時，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵長方形ABCD中， ， ，M為DC的中點，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM，

∵AD平面ADM，∴AD⊥BM

（2）證明：以O(shè)為原點，OA為x軸，ON為y軸，OD為z軸，

建立如圖所示的直角坐標系

設(shè) ，則平面AMD的一個法向量 ，

=（1﹣λ，2λ，1﹣λ）， ，

設(shè)平面AME的一個法向量 ，

則 ，∴

取y=1，得x=0，y=1， ，∴ ，

∵ = ．∴得 或λ=﹣1，經(jīng)檢驗得 滿足題意．

∴E為BD的三等分點．

【解析】（1）推導(dǎo)出BM⊥AM，從而BM⊥平面ADM，由此能證明AD⊥BM．（2）以O(shè)為原點，OA為x軸，ON為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出E為BD的三等分點．
【考點精析】關(guān)于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，需要了解相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點才能得出正確答案．