Question

過曲線y=

x+1

x2

上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P處的一條切線的方程為（　�。�

A．2x+y-4=0

B．3x-y-1=0

C．4x-y-2=0

D．x-y+1=0

Answer 1

分析：把x=1代入函數(shù)解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），求出f′（x₀），由點(diǎn)斜式得切線方程，把P的坐標(biāo)代入切線方程求出x₀的值，則切線方程可求，逐一核對(duì)四個(gè)選擇支可得答案．

解答：解：由x=1，得y=

1+1

12

=2，所以曲線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），
又y′=

-x-2

x3

，所以y′|x=x0=

-x0-2

x03

．
則過曲線y=

x+1

x2

上橫坐標(biāo)為x₀的點(diǎn)的切線的方程為y-

x0+1

x02

=

-x0-2

x03

（x-x₀）．
代入P點(diǎn)坐標(biāo)得：2-

x0+1

x02

=-

x0+2

x03

(1-x0)．
解得：x₀=-1或x₀=1
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為：y-

-1+1

(-1)2

=

1-2

(-1)3

(x+1)，即x-y+1=0．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，當(dāng)切點(diǎn)不在曲線上時(shí)，需要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程后代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解，是中檔題也是易錯(cuò)題．