Question

已知橢圓E：=1（a＞b＞0）上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）證明：直線PQ與橢圓E只有一個公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，解出即可；
（2）由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為，設(shè)P（3，y），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得，利用斜率計算公式可得k_PQ•k_OQ及代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）由（2）知，直線PQ的方程為，即，與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)得到關(guān)于x的一元二次方程，只要證明△=0即可．
解答：解：：（1）由題意可得，解得，c=1，
所以橢圓E：．
（2）由（1）可知：橢圓的右準(zhǔn)線方程為，
設(shè)P（3，y），Q（x₁，y₁），
因為PF₂⊥F₂Q，所以，
所以-y₁y=2（x₁-1）
又因為且代入化簡得．
即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）由（2）知，，，
∴．
∴直線PQ的方程為，即，
聯(lián)立得，
∵，．
∴化簡得：，又△=0，
解得x=x₁，所以直線PQ與橢圓C相切，只有一個交點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．