Question

【題目】如圖，已知橢圓的長軸長為4，離心率為，過點(diǎn)的直線l交橢圓于兩點(diǎn)，與x軸交于P點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn).

（1）求橢圓方程；

（2）求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，由橢圓的長軸長可得a的值，結(jié)合橢圓的離心率公式可得c的值，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案；

（2）設(shè)直線PQ的方程為，可得P的坐標(biāo)，設(shè)，，則，由兩點(diǎn)式寫出BC直線方程，得到Q點(diǎn)坐標(biāo)為

直線方程將直線與橢圓的方程聯(lián)立，可得，由根與系數(shù)的關(guān)系分析可得，用k表示Q點(diǎn)坐標(biāo)為，化簡即可得答案．

（1）由題意得解得

所以橢圓方程為

（2）直線方程為，則的坐標(biāo)為

設(shè)，，則，

直線方程為，令，得的橫坐標(biāo)為①

又得，得

代入①得

得

∴為常數(shù)4.