Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（2）證明：當(dāng)，時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切；

（3）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）最小值（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出的解析式，求導(dǎo)求單調(diào)性，然后則可求出最小值.（2）總存在兩條直線與曲線與都相切，及與永遠(yuǎn)都存在兩條公切線，分別設(shè)出切點(diǎn)求出切線方程，根據(jù)切線方程為同一條，列出方程組求解，證明等式恒成立即可. （3）即證明當(dāng)時(shí)，.令，求導(dǎo)求令的最小值大于0即可.

解：（1），，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故時(shí)，取得最小值.

（2）∵，

∴在點(diǎn)處的切線方程為；

∵，

∴在點(diǎn)處的切線方程為.

由題意得，則.

令，則，

由（1）得時(shí)，單調(diào)遞增，又，時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

由（1）得，

又，

，所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，

故當(dāng)時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切.

（3）.

令，以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時(shí)，，；

②當(dāng)時(shí)，，

令，，

又，取且使，即，

則，

∵,故存在唯一零點(diǎn)，

即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又，

且，即，故，

∵，故是上的減函數(shù).

∴,所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，.