Question

設雙曲線的頂點是橢圓的焦點，該雙曲線又與直線交于兩點A、B且OA⊥OB（O為原點）．
（1）求此雙曲線的標準方程； 
（2）求|AB|的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件雙曲線的頂點是橢圓的焦點，可以假雙曲線的方程為，再結合條件OA⊥OB，可求雙曲線的標準方程；（2）求|AB|的長度，利用兩點間的距離公式求解．
解答：解：（1）橢圓的焦點為（0，±1），依題意設雙曲線的方程為，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，∴15x₁x₂=9y₁y₂-18（y₁+y₂）+36，
∴
由 OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴4y₁y₂-3（y₁+y₂）+6=0…①
由，∴（15b²-9）y²+36y-（15b²+36）=0…②
∴，代入①中得b²=3∴雙曲線的方程為
（2）將b²=3代入②式中，得4y²+4y-9=0，
∴=
點評：本題（1）問利用直線與曲線聯立方程組，采用設而不求的方法，關鍵是設點；（2）問則在（1）問得基礎上借助于兩點間的距離公式求解．屬于中檔題．